Was ist die Fibonacci-Folge?

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Was ist die Fibonacci-Folge?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … Die Fibonacci-Folge. Jede Zahl in der Folge wird durch Addition der beiden vorherigen Zahlen erzeugt. Die nächste Fibonacci-Zahl ist also 13 + 21 = 34. Sie sind das einfachste Beispiel einer rekursiven Folge, bei der jede Zahl durch eine Gleichung in den vorherigen Zahlen in der Folge erzeugt wird.

Versteckt in dieser Folge ist eine weitere wichtige Zahl in der Mathematik: der Goldene Schnitt. Mit dem griechischen Buchstaben Phi bezeichnet, ist es eine Zahl wie Pi, die eine unendliche Dezimalerweiterung ohne Muster hat. Es beginnt mit phi = 1,61803… Es ist definiert als das Verhältnis eines Rechtecks ​​mit den Abmessungen A x B, wobei das Verhältnis A/B gleich (A + B)/A ist.

Dies wird von vielen Künstlern als das perfekte Verhältnis für eine Leinwand angesehen. Wenn Sie eine Zahl in der Fibonacci-Folge durch die vorherige Zahl in der Folge dividieren (z. B. 5/3), nähert sich dieser Bruch dem Goldenen Schnitt immer mehr an, wenn Sie mehr Fibonacci-Zahlen größer nehmen. Es gibt eine Formel für Fibonacci-Zahlen mit dem Goldenen Schnitt, die es vermeidet, alle vorherigen Zahlen berechnen zu müssen.

Es gibt immer noch Rätsel um diese Zahlen. Gibt es zum Beispiel unendlich viele Fibonacci-Zahlen, die auch Primzahlen sind? Wie 2, 3, 5 und 13. Wir kennen nur 51 Fibonacci-Primzahlen, aber könnte es unendlich viele davon geben?

Die Goldene Spirale ist eine logarithmische Spirale mit einer Form, die sich bei Vergrößerung endlos wiederholt. Eine Fibonacci-Spirale verwendet Viertelkreisbögen, die in Quadrate eingeschrieben sind, die aus der Fibonacci-Folge generiert wurden. ©Getty

Warum sind Fibonacci-Zahlen so wichtig?

Das sind die Lieblingszahlen der Natur. Sie finden sie überall in der Natur. Zählen Sie die Anzahl der Blütenblätter auf einer Blume und es ist oft eine Fibonacci-Zahl. (Wenn nicht, bedeutet das, dass ein Blütenblatt von Ihrer Blume abgefallen ist, so umgehen Mathematiker Ausnahmen).

Wenn Sie eine Frucht schneiden, finden Sie oft eine Sternform mit einer Reihe von Fibonacci-Armen. Eine Banane hat einen dreizackigen Stern, ein Apfel einen fünfzackigen Stern, eine Kaki einen achtzackigen Stern. Zählen Sie die Zellen einer Ananas und Sie werden mehrere Fibonacci-Zahlen finden. Auch die Samen einer Sonnenblume nutzen die Fibonacci-Zahlen, um sich effektiv zu verpacken.

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Fibonacci erklärte, dass diese Zahlen für das Wachstum der Dinge in der natürlichen Welt von zentraler Bedeutung sind. Die Natur nutzt das, was sie bisher kultiviert hat, um den nächsten Schritt zu tun. Nimmt man Quadrate, deren Maße den Fibonacci-Zahlen entsprechen, dann ist es möglich, sie in einem expandierenden Rechteck anzuordnen, was erklärt, wie sie den Dingen beim Wachsen helfen und warum sie Spiralen entstehen lassen.

Fibonacci erklärte auch, wie diese Zahlen das Wachstum der Kaninchenpopulation verfolgen. Wenn ein Kaninchenpaar einen Monat braucht, um heranzuwachsen, bevor es ein neues Kaninchenpaar gebären kann, wie viele Kaninchenpaare gibt es dann jeden Monat? Die Antwort liegt in der Fibonacci-Folge.

Was ist die Fibonacci-Folge?  © Alamy

Wer war Fibonacci?

Die Zahlen sind nach einem italienischen Mathematiker aus Pisa aus dem 13. Jahrhundert benannt, der auch als Leonardo Bonacci bekannt ist. Er wurde erst 1853 allgemein als Fibonacci bekannt, als der Historiker Guillaume Libri begann, ihn Fibonacci zu nennen, der Name ist die Abkürzung für Filius Bonacci (Sohn von Bonacci).

Fibonacci schrieb über diese Zahlen in einem äußerst einflussreichen Buch mit dem Titel Liber Abaci1202 veröffentlicht.

Sein Buch war als Hilfe für neue Berechnungsmethoden gedacht und erklärt die Macht der neuen hinduistischen arabischen Ziffern. Auf einer Reise nach Nordafrika erfuhr er von der Existenz dieser neuen Nummern. In Europa benutzte man zum Rechnen noch römische Ziffern und den Abakus. Aber die Verwendung des Abakus erforderte Geschick und Fachwissen. Dies bedeutete, dass Computer dem normalen Bürger nicht zur Verfügung standen.

Anstatt ungeschickte römische Ziffern zu verwenden, erklärte Fibonacci, wie die Indianer die Ziffern 1 bis 9 mit dem revolutionären neuen Konzept der 0 ausnutzten, um Zahlen mithilfe des Stellennummerierungssystems effektiv auszudrücken. Das Fibonacci-Buch gab dem normalen Bürger Zugang zu Berechnungen und die Möglichkeit, diese Berechnungen zu speichern. Deshalb versuchte das Establishment zunächst, ankommende Nummern aus dem Osten zu verbieten.

Sein Buch ist für den Beginn der Mathematik in Europa im Mittelalter verantwortlich. Es ist im Buch Liber Abaci dass er die Nummernfolge einführt, die jetzt seinen Namen trägt.

Was ist die Fibonacci-Folge?  © Getty Images

War Fibonacci der Erste, der diese Zahlen entdeckte?

Nein! Es stellt sich heraus, dass diese Zahlen eigentlich nach indischen Dichtern und Musikern benannt werden sollten, die sie Jahrhunderte vor Fibonacci entdeckten. Nicht die Natur, sondern das Verständnis des Rhythmus in Musik und Poesie war das Geheimnis ihrer Entdeckung.

Wie viele verschiedene Schläge kann man auf einer Trommel machen, wenn man lange und kurze Schläge kombiniert? Wenn zum Beispiel ein langer Beat zweimal ein kurzer Beat ist, dann ist hier die Anzahl der Beats, die Sie mit der Länge vier machen können: KURZ-KURZ-KURZ-KURZ, LANG-KURZ-KURZ, KURZ-LANG-KURZ, KURZ-KURZ – LANG, LANG-LANG. Insgesamt fünf verschiedene Rhythmen. Eine Fibonacci-Zahl!

Wenn Sie Beats der Länge fünf erstellen möchten, können Sie die drei Beats der Länge drei nehmen und ihnen einen LONG-Beat hinzufügen oder die fünf Beats der Länge vier nehmen und ihnen einen SHORT-Beat hinzufügen. Es gibt also acht Rhythmen der Länge fünf. Die Anzahl der Rhythmen erhöht sich gemäß der Fibonacci-Regel.

Viele moderne Musiker haben es genossen, Fibonacci-Zahlen in ihrer Arbeit zu verwenden. Debussy verwendet sie zum Beispiel in seinem Stück Das Meer genau wie Bartok in seinem Musik für Streicher, Schlagzeug und Celesta. Es gibt sogar eine neue Gedichtform namens Fib, bei der jede Zeile Silben hat, die der Fibonacci-Folge entsprechen.

Über den Autor – Marcus du Sautoy

Marcus du Sautoy ist Simonyi-Professor für Public Understanding of Science an der University of Oxford und Autor von Besser denken: Die Kunst der Abkürzung (£ 13,99, vierter Stand).

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